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刘维尔方程是非平衡态统计力学中，关于任意系统微状态概率密度函数$f\left(\bm\Gamma,t\right)$的连续性方程：

\[\frac{\partial}{\partial t}f+\nabla_{\bm\Gamma}\left(f\dot{\bm\Gamma}\right)=0\]

这实际上在说，不仅作为概率密度，有归一化条件所规定的全域概率守恒
\[\int_{\Lambda_t}f\left(\bm\Gamma,t\right)\mathrm{d}\bm\Gamma\equiv1,\quad\forall t\]
——其中$\Lambda_t\in\mathcal{B}$是$t$时刻系统可取的所有状态的集合，$\mathcal{B}$表示$\mathbb{R}^{6N}$上的Borel σ-代数——而且对任一局域$\omega_t\subset\Lambda_t,\omega_t\in\mathcal{B}$，概率都守恒。这件事，在传统教科书当中是用系综的概念，然后说“系综的系统数量不变”来讨论的。以下我们从概率论的角度建立统计力学的基础。

考虑一个由$N$个粒子组成的系统，在统计力学中，考虑粒子数$N$恒定的情况已经足够一般。对于粒子数变化的开放系统，理论方法上总是通过扩大系统的划份，直至新的系统是封闭的（粒子数恒定），然后基于这个大系统的性质讨论当初的小系统作为子系统的性质。

在经典力学假定下，系统的状态总是可以由所有粒子的位置和动量所确定，也就是说，系统的状态总是对应着$6N$维实数空间$\mathbb{R}^{6N}$中的一个点$\bm\Gamma\equiv\left(\mathbf{r}^N,\mathbf{p}^N\right)$，其中我们简记$\mathbf{r}^N\equiv\left(\mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_N\right)$和$\mathbf{p}^N\equiv\left(\mathbf{p}_1,\cdots,\mathbf{p}_N\right)$。

由于我们无法确定系统在任何时刻的微观状态，因此我们每一时刻，都为系统可取的每一个可能状态赋以概率。具体地，设$\left(\mathbb{R}^{6N},\mathcal{B}\right)$是一个Borel可测空间，$\Lambda_t\in\mathcal{B}$表示系统在$t$时刻所有可取的微观状态的集合，$\mu_t:\mathcal{B}\rightarrow\left[0,1\right]$是定义在这个可测空间上的概率测度，$\mu_t\left[X\right],X\in\mathcal{B}$表示$t$时刻系统的微观状态在$X$内的概率，实际上
\[\mu_t\left[X\right]\equiv\int_Xf\left(\bm\Gamma,t\right)\mathrm{d}\bm\Gamma\]
其中$f\left(\bm\Gamma,t\right)\mathrm{d}\bm\Gamma$是系统在$t$时刻微观状态处于$\bm\Gamma\sim\bm\Gamma+\mathrm{d}\Gamma$的概率。允许概率密度$f\left(\bm\Gamma,t\right)$得到定义所需要的$\mu_t$关于$\mathbb{R}^{6N}$的勒贝格测度的绝对连续性，实际上是由经典力学本身保证的，见关于离散测度没有密度的问题。

在经典力学中，给定某系统，它的运动方程总是把一个时刻$t$的确定状态$\bm\Gamma_t$映射为另一时刻$t+\Delta t$的唯一一个确定状态$\bm\Gamma_{t+\Delta t}$，即我们可以提及相应的双射$\chi_t:\mathbb{R}^{6N}\supset\Lambda_t\rightarrow\mathbb{R}^{6N}$。

若$\Lambda_t\in\mathcal{B},\omega_t\in\mathcal{B},\omega_t\subset\Lambda_t,\omega_{t+\Delta t}=\chi_t\left(\omega_t\right)$，则首先看到因为$\chi_t$必是连续的（经典力学运动），故$\chi_t$总把开集映射为开集，即$\omega_{t+\Delta t}\in\mathcal{B}$，故$\chi_t$是可测映射。其次，我们看到：
\[\mu_{t+\Delta t}\left(\omega_{t+\Delta t}\right)=\chi_t_*\mu_t\left(\omega_t\right)=\mu_t\left(\chi_t^{-1}\left(\omega_{t+\Delta t}\right)\right)=\mu_t\left(\omega_t\right)\]
其中记号$f_*\mu$表示测度$\mu_t$的由可测映射$f$引出的前推测度（pushforward measrue），上面第二个等式用到了前推测度的定义，第三个等式用到了$\chi_t$的双射性。以上推理对任意$t,\Delta t\in\mathbb{R}$以及任意$\omega_t$均成立。因此我们证明了，$\mathbb{R}^{6N}$空间任一（可测）局域上的概率是沿区域随按照实际系统运动的运动的守恒量。因此有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mu_t\left[\omega_t\right]\equiv 0\]

后续由雷诺传输定理即可得到关于概率密度函数$f\left(\bm\Gamma,t\right)$的刘维尔方程。