不基于系综概念的刘维尔方程推理

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刘维尔方程是非平衡态统计力学中，关于任意系统微状态概率密度函数$f\left(\bm\Gamma,t\right)$的连续性方程：

\[\frac{\partial}{\partial t}f+\nabla_{\bm\Gamma}\left(f\dot{\bm\Gamma}\right)=0\]

这实际上在说，不仅作为概率密度，有归一化条件所规定的全域概率守恒
\[\int_{\Lambda_t}f\left(\bm\Gamma,t\right)\mathrm{d}\bm\Gamma\equiv1,\quad\forall t\]
——其中$\Lambda_t\in\mathcal{B}$是$t$时刻系统可取的所有状态的集合，$\mathcal{B}$表示$\mathbb{R}^{6N}$上的Borel σ-代数——而且对任一局域$\omega_t\subset\Lambda_t,\omega_t\in\mathcal{B}$，概率都守恒。这件事，在传统教科书当中是用系综的概念，然后说“系综的系统数量不变”来讨论的。以下我们从概率论的角度建立统计力学的基础。

考虑一个由$N$个粒子组成的系统，在统计力学中，考虑粒子数$N$恒定的情况已经足够一般。对于粒子数变化的开放系统，理论方法上总是通过扩大系统的划份，直至新的系统是封闭的（粒子数恒定），然后基于这个大系统的性质讨论当初的小系统作为子系统的性质。

在经典力学假定下，系统的状态总是可以由所有粒子的位置和动量所确定，也就是说，系统的状态总是对应着$6N$维实数空间$\mathbb{R}^{6N}$中的一个点$\bm\Gamma\equiv\left(\mathbf{r}^N,\mathbf{p}^N\right)$，其中我们简记$\mathbf{r}^N\equiv\left(\mathbf{r}_1,\cdots,\mathbf{r}_N\right)$和$\mathbf{p}^N\equiv\left(\mathbf{p}_1,\cdots,\mathbf{p}_N\right)$。

由于我们无法确定系统在任何时刻的微观状态，因此我们每一时刻，都为系统可取的每一个可能状态赋以概率。具体地，设$\left(\mathbb{R}^{6N},\mathcal{B}\right)$是一个Borel可测空间，$\Lambda_t\in\mathcal{B}$表示系统在$t$时刻所有可取的微观状态的集合，$\mu_t:\mathcal{B}\rightarrow\left[0,1\right]$是定义在这个可测空间上的概率测度，$\mu_t\left[X\right],X\in\mathcal{B}$表示$t$时刻系统的微观状态在$X$内的概率，实际上
\[\mu_t\left[X\right]\equiv\int_Xf\left(\bm\Gamma,t\right)\mathrm{d}\bm\Gamma\]
其中$f\left(\bm\Gamma,t\right)\mathrm{d}\bm\Gamma$是系统在$t$时刻微观状态处于$\bm\Gamma\sim\bm\Gamma+\mathrm{d}\Gamma$的概率。允许概率密度$f\left(\bm\Gamma,t\right)$得到定义所需要的$\mu_t$关于$\mathbb{R}^{6N}$的勒贝格测度的绝对连续性，实际上是由经典力学本身保证的，见关于离散测度没有密度的问题。

在经典力学中，给定某系统，它的运动方程总是把一个时刻$t$的确定状态$\bm\Gamma_t$映射为另一时刻$t+\Delta t$的唯一一个确定状态$\bm\Gamma_{t+\Delta t}$，即我们可以提及相应的双射$\chi_t:\mathbb{R}^{6N}\supset\Lambda_t\rightarrow\mathbb{R}^{6N}$。

若$\Lambda_t\in\mathcal{B},\omega_t\in\mathcal{B},\omega_t\subset\Lambda_t,\omega_{t+\Delta t}=\chi_t\left(\omega_t\right)$，则首先看到因为$\chi_t$必是连续的（经典力学运动），故$\chi_t$总把开集映射为开集，即$\omega_{t+\Delta t}\in\mathcal{B}$，故$\chi_t$是可测映射。其次，我们看到：
\[\mu_{t+\Delta t}\left(\omega_{t+\Delta t}\right)=\chi_t_*\mu_t\left(\omega_t\right)=\mu_t\left(\chi_t^{-1}\left(\omega_{t+\Delta t}\right)\right)=\mu_t\left(\omega_t\right)\]
其中记号$f_*\mu$表示测度$\mu_t$的由可测映射$f$引出的前推测度（pushforward measrue），上面第二个等式用到了前推测度的定义，第三个等式用到了$\chi_t$的双射性。以上推理对任意$t,\Delta t\in\mathbb{R}$以及任意$\omega_t$均成立。因此我们证明了，$\mathbb{R}^{6N}$空间任一（可测）局域上的概率是沿区域随按照实际系统运动的运动的守恒量。因此有
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mu_t\left[\omega_t\right]\equiv 0\]

后续由雷诺传输定理即可得到关于概率密度函数$f\left(\bm\Gamma,t\right)$的刘维尔方程。

液体物理拾遗

H. Frisch和J. Lebowitz在1964年主编了一个讲座和重印论文集。完整citation信息是：

H. Frisch & J. Lebowitz (1964), The equilibrium theory of classical fluids—a lecture note and reprint volume, W. A. Benjamin, inc.

这书在archive.org上可以借阅。

第二年D. McQuarrie在Science上锐评这本书，我大致注意到了几条意见。一是认为这本书只推销了液体平衡态统计的积分方程理论，而完全没有介绍其他竞争性理论，因此题目有误导，实际书名应是“Radial distribution function and integral equation techniques in the classical equilibrium theory of fluids.” 二是，McQuarrie认为全书最有价值的是Ornstein & Zernicke合著的两篇著名论文，因为这两篇论文原本发表在一个不易获取的期刊上。第三是一段对这类专著现象的吐槽，原文引用如下

The purpose of a reprint volume is to present the recent developments in an active and rapidly expanding field. In principle, this is a useful and necessary concept, but there is nevertheless the danger that, owing to the eagerness of publishers, a plethora of such volumes will appear. A number of fields are expanding and developing at such a rate that reprint volumes are needed, but it is questionable whether the classical equilibrium theory of liquids is one of them.

我从McQuarrie的这些说法总体揣摸，估计他认为液体的平衡态统计理论进展，与当时那几年出现的这类论文集的数量相比并不相称。他的重点断不是要去直接贬低某个领域没意思，不值得做；那就应该是嫌这类专著一下子出得太多了，而相关领域又不是真有如此大的进展。

我没有去调查那几年是不是真的突然很多这个话题的论文集。但是，液体物理之中确实来来去去几个美国人，名字经常署在一起。比如，另一个液体物理的大名字S. Rice也在Phys. Today评论了这个论文集。他主要吐槽，在原印期刊里有重复页，以及这书的重印技术简陋。但最后一段说这类专著一般很贵，但这本很便宜。实际上Rice跟Lebowitz就合著过综述。

从我的角度看，这本专著主要是Lebowitz个人兴趣。Lebowitz本人是数学物理学家。这本专著中选择的都是理论的精确化努力的工作。正如McQuarrie也提到的那样，全书只有最后两篇东西有实验数据。这也其实是标题误导的又一方面了。

从今天看积分方程理论应该是从当时的各种竞争理论survive下来了。但在当时并没有这种先知先觉。在物理学当中，竞争性理论的失败，很少能100%有理有据，特别是统计力学。因为实验观察的是宏观体系，理论出发点是微观状态。从“还没积分”的东西出发去预测“积完分之后”的东西，信息反正是要丢的。你原来整进来了什么，然后又丢掉什么，可能有不同的办法，最后都能得到相同的宏观行为，光靠实验是证伪的。只能再通过其他标准，比如是否足够的“第一原理性”，是否与其他物理理论自洽等等。甚至应该说，很多半经验/半现象学模型，并不就应该完全淘汰掉。所以，最后其中某一理论方法在后来成为优胜者，其实因素是综合的，历史主观成份很大。可惜的是，什么理论好，什么理论不好，为什么喜欢一个理论不喜欢另一个，这样的讨论很少见诸文字，因为大家都希望维持某种学术体面。但这种自我规训其实是科学家对“科学”的一种朴素的认识导致的。说一个理论之所以生存下来无非就是历史主观性，他们应该是不接受的；如果是，那也必须是一个需要努力改变的不完美之处。理论只能有唯一正确。如果我们还不能证明某个理论精确正确，那我们就应该朝这个方向努力。但是科学哲学对科学到底是什么的近世认识，未必支持这种努力的价值，反而支持一种，讲究在“品味”上人人平等，看淡“优胜与否”的文化。

Leon B. Lucy

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背景

在数值计算领域有一个比较知名的去卷积迭代算法——Lucy–Richardson算法，它被后世集中用于图像去噪。例如，MATLAB的Image Processing Toolbox有一个deconvlucy命令，声称就是用Lucy–Richardson算法对给定图片（像素矩阵）作给定点扩散函数的去噪。

但是，Lucy的原文[1]所针对的问题，比现在一般应用更广义。假定$X$是一个连续取值随机变量。它理应按照分布密度函数$\phi\left(x\right)$。我们想把$\phi\left(x\right)$视为某种简单分布$P\left(x\middle|\xi\right)$按权重谱$\psi\left(\xi\right)$的叠加结果：

\begin{equation}\label{eq:original_phi_expression}
\phi\left(x\right)=\int P\left(x\middle|\xi\right)\psi\left(\xi\right)\mathrm{d}\xi
\end{equation}

而我们想得知给定形式的核$P\left(x\middle|\xi\right)$所对应的权重谱$\psi\left(\xi\right)$。在这里，$\xi$是核函数$P$的参数。比如，我们关心高斯核函数的情况，那么$P\left(x\middle|\xi\right)$可能是以$\xi$为标准差的高斯函数

\[P\left(x\middle|\xi\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\xi^2}}\exp\left[-\frac{\left(x-\mu\right)^2}{2\xi^2}\right]\]

在图像去噪的上下文中，以deconvlucy为例，核函数$P\left(x\right)$是一个固定参数$\xi$的函数，且$\xi$的取值范围（即$P\left(x\right)$的“宽度”）远窄于$x$的范围（在图像语境中是图像的大小）。但在Lucy原文的语境中，$\phi\left(x\right)$、$P\left(x\middle|\xi\right)$和$\psi\left(\xi\right)$都是支撑为整个实数的分布密度函数。可以说，图像去噪应用，只是Lucy原文算法的其中一个很特殊的例子。

数值计算的设计艺术

在我的研究中，恰好需要解决Lucy原文意义的问题，因此我是认真阅读了Lucy的原文多次的，有些其他方面的感受。

原文的文字极其清晰和流畅，逻辑十分严密，记号仔细（既不滥用又不混用）。我觉得这是有成就的作者的共性。读到这样的文字就能说明作者是事实上的大师（尽管世俗名誉上未必）。

在论文发表的1970年代，电子计算机在科学计算中的应用已经比较普及。原文没有提及所报道的验证实验是在什么计算机上进行的，只在致谢中说到了NASA的Goddard Institute for Space Studies (GISS)提供了机时。我相信，这应该是一种需要申请节点的大型计算机，机时资源应该是比较昂贵的。

在今天，像我这种数值计算的外行，可以在MATLAB开发环境中重复运行多次来学习一个没有从原理上吃透的算法的行为，因为很多计算在今天的普通笔记本电脑上运行都毫无压力。但是在当年，这种“作弊”的做法是不提倡的。给定一个算法，你理应努力地在草稿纸上分析它的好处和坏处。这种功夫我没有，但从这篇论文中还是领教了它的优雅。

从算法的原理，就能看出它的结果只对长波长噪音敏感，而对短波（高频）噪音迟钝，它在头几个迭代就能快速收敛，它在样本数$N$太少时会有什么异常……等等，都通过分析，在不放到计算机中瞎试之前，就都清楚了。而我的做法，常常是边试边改算法。极度浪费计算资源来迁就我在分析上的懒惰。这在今天也许不是什么罪过，甚至作为一个数值计算的外行，这可以说是在聪明地节省时间，但我仍然对原文这种“数值计算的设计艺术”感到敬佩。

有那么一些论文，我是称之为“教学论文”的，就是它好到可以拿来作为典范，给研究生作为范文，去学习很多超出论文具体内容的东西，比如论文结构、学术英语写作、批判性逻辑、乃至科学精神。Lucy的这篇论文就可以称之为一篇“教学论文”。

该作者的全名是Leon Brian Lucy。关于他的详细信息，可见其一篇讣告[2]和纪念文章[3]。

References

  1. L.B. Lucy, "An iterative technique for the rectification of observed distributions", The Astronomical Journal, vol. 79, pp. 745, 1974. http://dx.doi.org/10.1086/111605
  2. D. Baade, J. Danziger, R. Hook, and J. Walsh, "Leon B. Lucy (1938–2018)", Bulletin of the AAS, vol. 54, 2022. http://dx.doi.org/10.3847/25c2cfeb.88cfeeba