教科书的前言总是有各种宝藏。我备课时找随机过程的书。这一本——
John Lamperti (1977), Stochastic Processes: A Survey of the Mathematical Theory, Springer-Verlag
的前言有大量文字讨论了“科学的双刃剑”问题。这也许跟这本书出版的1970年代的时代有关；当时美国越战引发大规模反战浪潮。但是在一本随机过程的课本中用一大半的前言篇幅来讨论这个问题，多少反映了作者本人的特点。因此我去搜索了这一个作者，不想却打开了一个新世界的大门。他确实是无论是在学术生涯之内还是之外都积极就政治话题发声。例如他发表过关于死刑是否对谋杀有震慑力的统计学研究工作。他除了两本统计学教科书之外，还写了三本社会和政策话题的书。我从他的个人页同中了解到了另一本普利策奖的奥本海默传记、美国对中美洲国家政治的积极干涉和由此犯下的罪行、以及2012年以来美国选举法的一些倒退性变化等许多话题。他是“科学家是否要关心政治”这个问题的最佳注脚：如果科学家要关心政治，那他应只有一种倾向那就是左的倾向；只有一种立场，那就是世界和平的立场。
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对于若干个离散质点组成的物体，能否定义其质量密度？不可以。考虑以下简化的问题。
设$x_1,\cdots,x_n\in\mathbb{R}$，且各不相等。对任一勒贝格可测集$A\subset\mathbb{R}$，定义以下测度：
\[
\delta_i\left(A\right)=\left\{\begin{array}{cc}
1,&x_i\in A\\
0,&x_i\notin A
\end{array}
\right.,\quad
\mu\left(A\right)=\sum_i\delta_i\left(A\right),\quad\nu\left(A\right)=\sum_i p_i \delta_i\left(A\right)
\]
其中 $p_1,\cdots,p_n\in\mathbb{R}^+$。若是在讨论概率则还需$\sum_i p_i=1$。虽然$\nu$对$\mu$绝对连续（可验），但由于$\mu$不是$\sigma$-有限的，因此不适用于拉东-尼科迪姆定理以找到满足
\[\nu\left(A\right)=\int_A \rho d\mu\]
的“密度场”$\rho$。Truesdell & Toupin的CFT[1]只对连续物质定义了密度，离散质点只有质量，没有体积和密度。在Truesdell & Noll的NFT[2]中这一点更明确。
在讨论物体的质量时，在这样一个定义下，一个由无限个离散质点组成的物体质量将会是无穷大的。理论上我们接受这一设定[1]。相应地，在讨论概率的时候，如何讨论一个无穷离散集上的概率？可以从有限集的情况向无穷进行推广而不会产生概念上的危机，例如这一链接中的例子。
一个由若干个离散质点的组成的物体既然没有质量密度场，那么它的“连续性方程”是怎样的呢？如何讨论其“质量守恒”律呢？CFT在定义了离散质点的质量后没有再讨论这个问题，而NFT从定义物体质量的时候就明确不考虑离散质点的情况。我在这里给出的意见是：连续性方程只是在需要用连续介质力学时才需要首先列出的。对于离散质点组成的动力学系统，已经可以使用常规经典力学课本中介绍的牛顿力学或拉格朗日力学来刻划。如果非要讨论离散质点体系的连续性方程，那完全不妨引入Irving-Kirkwood-Noll procedure[3]，此时所有连续介质的公设仍然成立（see also [4]）。
现在我们转而考虑相空间流体由离散点组成时的相密度场问题。本文一开始已经否决了，对若干个离散点是无法定义密度场的，也没有资料讨论这种体系的“连续性方程”。因此，如果一个动力学系统在某种约束下，其所有可取的状态（all admissible states）在相空间是离散的状态点（多于1个），那将无法定义“密度”并讨论其刘维尔方程。问题是，这种情况是否可能？我的推断是不可能。以下是一些不太充份的理由。
如果一个动力学体系在某约束下可以取两个离散的状态点，那么既然它们都“可取”，就应当存在一个虚拟运动由其中一个状态达到另一个状态。但这将要求这个动力学体系要么速度无穷大（构型空间中的瞬移），要么加速度无穷大（动量突变）。能否说在经典力学中这两者都不被允许？如果速度（动量）无穷大，将导致无穷大的能量。只能说，如果认为整个经典宇宙是一个孤立体系的话那么整个宇宙的总能量是有限的常数（否则没有能量守恒的讨论），任于这个宇宙内的动力学体系不可以具有无穷大的能量。因此，也不可能有无穷大的加速度，因为这需要消耗无穷大的能量，经典宇宙不具备。但是经典力学对宇宙是否必须有这种孤立系统的规定，我不太清楚。而且如果真的一定要依赖这一规定，才能禁止加速度无穷大，那可能孤立宇宙就是经典力学的其中一个必要的基础。总之，我目前依赖于速度无穷大和加速度无穷大的绝对禁止。
为何两个“可取”状态间一定要存在至少一种连结它们的虚拟运动呢？为何不能通过设置初条件为任一个可取状态，然后体系之后就留在那个状态不动？——这样也不违反“两个状态都是该约束下可取的”，但之间没有任一种虚拟运动可以联系。我答案是，这种情况违反因果律或信息守恒。因为力学问题中的“初条件”，也必须是在同一动力学规律下可以从其他状态“达到”的终点，不能是“无因之果”。如果一个初条件状态，除了人为设定它在这一状态之外，无法从其他状态达到，那这相当于“上帝的第一推动”问题。而这一问题适用且只适用于一个动力学系统——整个宇宙。所以在任何具体动力学系统的问题中这是不允许的。
所以，动力学系统的相空间流体可以一般地避免“离散点没有密度”的问题。它总是“连续介质”（或说是单连通紧集）。
2022/10/4补充：在R. Tolman教材中是这样引入的：
…, it is also to be noted for statistical purposes that we shall wish to use ensembles containing a large enough population of separate members so that the numbers of systems in such different states can be regarded as changing continuously as we pass from the states lying in one region of the phase space to those in another. Hence, for the purposes in view, it is evident that the condition of an ensemble at any time can be regarded as appropriately specified by the density $\rho$ with which representative points are distributed over the phase space.
…
The quantity $\rho$ is then to be understood as determining the number of systems $\delta N$, which would be found at time $t$ to have coordinates and momenta lying in any selected infinitesimal range $\delta q_1\cdots\delta q_f\delta p_1\cdots\delta p_f$, in accordance with the equation
$$\delta N=\rho\left(q,p,t\right)\delta q_1\cdot\delta q_f\delta p_1\cdots\delta p_f$$
We assume a large enough total population of systems so that $\rho$ and $\delta N$ can be regarded with sufficient approximation as changing continuously as we go from one region in the phase space to another.
By integrating over the whole of phase space, we can write
$$N=\int\cdots\int\rho\left(q,p,t\right)dq_1\cdots dp_f$$
as an expression for the total number of systems $N$ in the ensemble or phase points in the phase space.
p. 46~47
这段引入字面上是希望当$N$足够大时，微、积分表达式能作为相空间密度的一种近似。但作者仍然坚持积分后的是“系统的总个数”（total number of systems），是可数的概念。这其实暗示了种用Dirac delta函数来表示离散点密度的方法。如果这么处理，上述的表示就不是一种$N$很大时的近似，而是对任意$N$的精确表示。
我之前在这个博客放出过我导师关于如何做导师的一些想法，引出他联想的文章是冯培忠老师的文章：科学网—立德树人 如何做一名合格的研究生导师？ – 冯培忠的博文 (sciencenet.cn)。我导师最后说，冯培忠老师所列出的若干条——
那些是“至少”的对正常人的要求吧，如不跑腿办私事、不当骡马、不主宰学生、不语言暴力、不与异性独处等等，全做到了也难说就是学术导师了。
其实在应用伦理学当中，所谓“对正常人的要求”，应该是对应着基本道德原则。而那些具体指导着研究生导师事务的伦理规范（关于什么是好/坏的做法的一般原则），则属于“职业伦理”的范畴。
导师如何指导研究生、如何管理实验室，也有很多必须讨论的伦理学问题。关于“如何指导研究生”的正确和负面描述已经很多了。正面的描述包括科学家的传记、回忆录和类似上述这种个人观点的总结；负面的描述包括了广大经历不幸遭遇的研究生的控诉。尽管这些文字相当多，它们对于形成共识的帮助很有限。哪怕是那些正面的描述，差异都非常大。著名科学家提导研究生的方法就已经风格各异，甚至相反。他们指导研究生的经验，也无法直接向普通科学家和研究生群体推广。说到最后似乎就只剩下“导师指导研究生的风格可以很多样，没办法一概而论”这种和稀泥的结论。只有正规的伦理学研究，才能把帮助我们把道理讲清楚，形成共识。可是我留意到，目前大部分关于科学伦理的研究资料都是关注科学研究过程的，关于导师指导研究生、以及实验室建设和管理过程的伦理资料很少。
“研究生导师”，英语有好几个词：mentor、advisor、supervisor等等。但关于指导研究生这件事的抽象名词，是用mentor加上后缀-ship得到的，mentorship。Mentor这个词最早来自古希腊，是荷马史诗《奥德赛》中的人物名称，作为人名译为曼托尔。曼托尔是奥德修斯的朋友。当奥德修斯前往特洛伊的战争时，他让曼托尔指导他儿子忒勒玛科斯的学习。也有人说，mentor今天的含义，更多地来自荷马史诗中的女神雅典娜。她化身成为自称Mentes的酋长来帮助忒勒玛科斯。之所以认为曼托尔不足以作为mentor一词今日含义的来源，而需要考虑雅典娜所化身的Mentes，是因为mentor一词在今日被认为同时具备以下意义：
[Mentors should be understood] as role models, as counsellors, as advisors, as teachers, as nurturer, as friends and as sponsors.
Homer’s Mentor – Duties Fulfilled or Misconstrued (nickols.us)
Role model（榜样）、counsellor（辅导员）、advisor（顾问）、teacher（教师）、培育者（nurturer）、friend（朋友）和sponser（赞助者），对于研究生导师来说似乎都是普遍期望之内的角色，而没有过份夸大。因此把指导研究生这件事叫做mentorship应该是再恰当不过。只不过，从规范伦理学的角度来说，如果上述不同的角色都要同时扮演，将难免引入大量道德两难处境。如果我们以这种综合角色作为理想的研究生导师，严肃而详细的伦理学研究就更加必要了。而且相应地，mentorship的伦理一定能镜象出menteeship（研究生）的伦理。
我在多年前就尝试整理一份面向课题组的科学伦理学的介绍。我希望不是那种外行的泛泛而谈式的无聊说教，而是先正式地介绍什么是伦理学，并在正式的规范伦理学层面阐述作为职业伦理的科学伦理学话题。当时因相关资料缺乏我停在了研究生导师与学生关系的伦理学上。但有一对资料，分别面向导师和学生，已经非常接近规范伦理学的层度了——它只是没有提取出伦理学概念重述为伦理学家的专业语言而已，而这在我的目标中也其实并不必要。我在此郑重推荐它们，可在University of Michigan的Rackham Graduate School关于mentoring的网页下载。
这两个文件同等重要。我觉得更值得赞赏的是写给导师那份。在读它的内容的过程当中，我止不住跟中国的情况相比较。显然，这些指导建议在中国充满了水土不服，从而能看出了很多中国的文化问题，不说罄竹难书也至少足以让我写十几篇文章去讨论。
2018年Nature Biotechnology上的一篇报道报告了研究生群体中更高的焦虑和抑随比例，促使美国高校在院系层面对mentorship的重视。除了上面提到的University of Michigan研究生院有公开的committment外，我看到MIT也有一个Committed to Caring，（好像是）每年会选举表彰真正关注学生福祉的教师导师，其选举条件中也相当于声明了在MIT看来何谓“关注学生福祉”的标准。
更多关于mentorship的学术研究和讨论，首先可以看UMich那份文件中的Further reading，然后这个网页也给出了更加近期的参考文献。
尽管文化、体制等现实完全不鼓励（甚至是在破坏着）这种良性的师生关系，但我仍希望不惜牺牲自己的职业前途而致力于做一个真正意义的研究生导师的人，能至少做对了事情，牺牲得其所。