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橡胶热机

《费曼物理学讲义》中介绍热力学的部分，设计了一个橡胶热机。

许多人复刻这个设计。YouTube上有很多视频了。比较值得注意的是Karlsruhe Institute of Technology做的原型，功率十分可观。

我一直以为，这个轮子的橡皮筋连到内圈上的位置是偏心的，以便当冷热两面皮筋张力有差异的时候，能制造出力矩不平衡，导致转动。但是这个帖子却介绍说，连接位置仍是中心对称的，造成不平衡的是外框形变程度不同，使得重力不平衡。

实际上比讲义（1960年代） 更早时，就已经有人利用橡胶的显著热弹性设计热机了，那就是Wiegand和Snyder的橡胶单摆[1]。其中一个模型在1933年芝加哥世博会连续运行了150天。

Wiegand的单摆

费曼的那种轮子设计，其实已经由Wiegand于1925年报道过。这个轮子是水平的。可以看到皮筋是以中心对称的位点连到内圈的。但注意到轮框是固定的，但内轴是曲辊，所以皮筋的张力差异能使曲辊旋转。而这种差异的周期变换需要外框相对蜡烛的旋转来实现。

Wiegand, 1925

50年代，生物体的弹性结缔组织（如筋腱）与橡胶弹性的相似性引起了一股研究热潮（Flory也陷到这里面去，争吵一直到他去世之后，这个以后再找时间写），因此也有人考虑过用筋腱做热机的想法[2]。R. Hayward在1956年5月的科学美国人上也展示了竖直轮的设计。Cox也报道[3]了竖直的轮子设计。这些报道清楚地表示这种设计是靠重力不平衡，不是靠我猜测的偏心扭矩不平衡。

50年代，

大概在费曼物理学讲义的同年，加州大学的劳伦斯辐射实验室的Paul. B. Archibald也做了一个热机，由C. L. Stong在《科学美国人》1971年4月作了介绍。同一篇文章也介绍了Wiegand的设计。

Wiegand’s inspiration to construct a rubber engine came one afternoon in 1920 as he was lecturing to a group of students at McGill University. He later gave the following account: “To demonstrate the Joule effect, I strung a bundle of rubber bands from the high ciling of the lecture room and by a weight stretched them to 500 per cent elongation. When a battery of Bunsen burners was placed beneath the stretched rubber, the weight leaped upwards; when the burners were removed, the weight sagged. The students seemed impressed by seeing heat induce contraction. I shared their interest, but in addition I also saw Carnot’s cycle: the reversible cycle in which heat is absorbed at high temperature and discharged at high temperature and discharged at a lower temperature. Here, I thought, is a potential heat engine. Subsequently I shared my hunch with a collaborator, H. F. Schipple, who was endowed with mechanical genius. As a result we constructed two heat engines, one reciprocating (in the form of pendulum) and the other rotating-a rubber motor”

Wiegand, 1920

在费曼之后，也有一些与Wiegand (1925) 设计类似（轮子）的热机报道[4]。

References

  1. W.B. Wiegand, and J.W. Snyder, "The Rubber Pendulum, the Joule Effect, and the Dynamic Stress-Strain Curve", Rubber Chemistry and Technology, vol. 8, pp. 151-173, 1935. http://dx.doi.org/10.5254/1.3539424
  2. M.G.M. PRYOR, "Heat Exchanges of a Muscle Model", Nature, vol. 171, pp. 213-213, 1953. http://dx.doi.org/10.1038/171213a0
  3. E.G. Cox, "A heat engine run by rubber", Journal of Chemical Education, vol. 31, pp. 307, 1954. http://dx.doi.org/10.1021/ed031p307
  4. J.G. Mullen, G.W. Look, and J. Konkel, "Thermodynamics of a simple rubber-band heat engine", American Journal of Physics, vol. 43, pp. 349-353, 1975. http://dx.doi.org/10.1119/1.9852

regular/ordinary

在我的领域，有一个我从初学到现在一直十分不适的一个词：regular solution。

regular英语应该是按事物以往的周期发生的意思，但美国人把它用作ordinary（平凡）之义。所谓平凡是要跟“特殊”、“神圣”、“高贵”、“理想”之类的词相对立。不信的可以查一下牛津词典。

Me: I ‘d like a cup of milk please.
Server: We have chocolate, strawberry, vanilla. Which would you like sir?
Me: I’d like a cup of ordinary milk please.
Server: We don’t have that flavor, we only have chocolate etc.
Me: No, I’d like a cup of the white stuff that comes out of a cow:
Server: Oh, you mean regular milk?
Me: Yes please, but I don’t care how often the milk comes out of the cow.

J. Hildebrand——regular solution一词的杜撰者——就是个老美。他出生、求学和任职都在美国。他自己解释过regular solution这个词的意思。这是另一个拿regular当ordinary用的美式英语典型例子。

理想溶液（ideal solution）没有混合热（焓），但哪怕是只有色散力都能必能制造出混合热来——哪有两种分子极化率一模一样的？大小一样的倒是可以。因此在凡间的溶液都不会像理想溶液那样的。

在Hildebrand那会儿还没有什么超额熵效应的报道。他想的就是混合热。现在我们啥都见过了，才把正规溶液定义为超额混合熵为零；混合焓为零定义为无热溶液。

中国和英国统计力学家在高分子溶液热力学的贡献

我们都知道Flory–Huggins溶液理论中的混合熵，就是把理想溶液的混合熵表达式中的摩尔分数改成了体积分数。以二元液态混合物为例，
$$\Delta_\text{mix}G^\text{id}=-T\Delta_\text{mix}S^\text{id}=RT\left[n_1\ln x_1+n_2\ln x_2\right]$$
而Flory–Huggins理论给出的小分子溶剂+线形高聚物溶质的结果是：
$$\Delta_\text{mix}S=-R\left[n_1\ln\varphi_1+n_2\ln\varphi_2\right]$$
以上讨论都假定$\Delta_\text{mix}H=0$，或者限于格子模型来说就是不同构形的内能相同。这被称为无热（athermal）溶液（是因为焓历史上被称为“heat”，其实这跟热容或熵不直接相关，反而是相互作用势能的体现）。如果按照惯例用相同条件下的理想混合物作为标准态，那么Flory–Huggins的结果体现的结论就是，仅因分子体积不同，也会制造出非零的超额混合自由能，且这个超额混合自由能是纯熵变。

早期认为，分子体积不同，是要通过它们造成了相互作用势的不对称，即非零的交换能$w\equiv w_{AB}-\left(1\middle/2\right)\left(w_{AA}+w_{BB}\right)$，毕竟分子大小首先就影响色散力。到了大概1930年中叶（在1936年的法拉第学会第65次一般讨论中），大家才接受不同分子尺寸的无热混合物有超额熵。R. Fowler提出大一点的分子可以考虑占两个格子。他和G. Rushbrook发表的这种计算结果[1]证实了这件事。仅仅作出这一小步的推广，数学推导的难度就大增。原文只讨论了$N_1\ll N_2$或$N_1\gg N_2$的情况。H. Bethe提出了一种方法[2]，现在称为Bethe–Peierls近似，可以方便地考虑二体相关性下的构形数，即可得到概率$p_{ij},\quad i,j=A,B$。这个方法迅速被张宗燧和A. Miller等用于考虑大分子溶质的格子模型，从二聚体、三聚体一直推广到一般的$r$聚体[3][4][5][6]。这两个人靠Bethe方法写下构形数，得到无热溶液的混合熵变部分。W. Orr进一步把Bethe近似下的混合焓也写出来了[7][8]。E. Guggenheim用另一种更优雅的方法，得出了跟用Bethe方法一样的结果，并证明两种方法是等价的。这些来自英国（和我国张宗燧在英国留学时）的贡献，基本系统性地终结了聚合物溶液热力学的格子理论工作。可以参考A. Miller和E. Guggenheim的两本书：

  • A. Miller (1948), The Theory of Solutions of High Polymers, Clarendon
  • E. Guggenheim (1952), Mixtures, Clarendon
    也可以参考H. Tompa的书：
  • H. Tompa (1956), Polymer Solutions, Butterworths

这个H. Tompa也是值得一说的，但我可能要将在另一篇文章里讲。

我们今天所熟知的Flory–Huggins属于同时期美国人的工作。我之前的文章提到，是M. Huggins稍微比P. Flory早几个月开始推导高分子溶液的格子模型，似乎这种同时性是巧合，但其实Flory这个做法是受德国化学家K. Meyer的建议做的。K. Meyer和H. Mark合著了世界上第一本高分子科学的教科书。

值得强调的是，今天的Flory–Huggins形式，是Guggenheim一般形式中配位数$z\to\infty$的特殊结果，所以表达式中不显含$z$（交换熵变部分不含$z$，焓变对$z$的依赖性包在“相互作用参数” $\chi$ 的定义中了）。哪怕是限于导出Flory–Huggins的交换熵形式，也有不同的数格子方法。今天许多中文高分子物理教科书上的数法，就跟Flory在自己的书中的数法有点不同，但都用不同的近似主张凑出了相同的最后结果。其中一种写法需要说“假定 $z$ 与 $z-1$ 差别不大”。然而在3维空间中$z$的取值范围最高是12，一般考虑 $z$ 等于6到10。这样的取值怎么可能认为 $z$ 与 $z-1$ 差别不大？——除非取了$z\to\infty$ 极限。所以，其实一个严格的模型推导结果应该总是显含配位数的。Flory–Huggins这个不含配位数的更流行的形式仅仅是Guggenheim表达式的一个特殊性况。当然，分析表明，不同配位数的差别，在 $z=2,3,4$ 时十分巨大，但 $z>6$ 时差别比较小，那么Flory–Huggins的形式胜在简洁，所以这件事之后也就没人再追究了而已。

但是，一部分后来的人似乎认为配位数在物理上就不应该影响溶液热力学性质。这种看法不是来自物理直觉，而仅仅是Flory–Huggins模型长期教学误导。很多课堂讲解甚至教科书都会去强调这个结果中不含配位数这件事，好像本该如此。恰恰相反，物理直觉应该会告诉我们，配位数不同将严重影响热力学性质。从模型的角度，相同的溶剂（质）分子属性，仅配位数不同，对应于什么真实物理呢？它可能是分子的非球形或者分子的永久极性等影响堆砌的物理因素，而这当然是重要的热力学性质影响因素。

我曾经chair一个流变学会议的section，有一个演讲者介绍了他用格子模型来考虑过冷液体玻璃化转变的热力学理论。他直接使用的就是Flory–Huggins形式作理论预测，当然主要结果是通过MC计算机模拟来给出的。介绍完之后，场下没有人提问（可能话题太深了），于是我负责提了个问题，就是配位数在这里面起到什么作用。因为我当时的物理直觉告诉我，配位数就是堆砌情况，而这将在玻璃化转变中产生非常重要的影响。他用格子蒙特卡洛方法做，可以换不同的配位数来看。但是这个演讲者似乎觉得我的问题是不了解基本常识，具体就是“配位数仅仅是格子模型引入的概念，理应没有物理效应”这个“常识”。当然，这可能是我过度解读，实际上他只作了很隐晦的回复。

张宗燧的工作，后来被杨振宁和李荫远继续[9]。杨振宁还在论文的脚注强调了王竹溪的贡献[10]。诚然，“我对统计物理的兴趣即是受了竹溪师的影响。”（见：这里和这里）。只不过杨和李的工作更面向固溶体，而张宗燧和王竹溪作为Fowler的学生，则跟Fowler做溶液的动机更接近些。

张宗燧在文革期间不忍无尽的斗争和折磨，于1969年服安眠药自杀（见这里）。

References

  1. R.H. Fowler, and G.S. Rushbrooke, "An attempt to extend the statistical theory of perfect solutions", Transactions of the Faraday Society, vol. 33, pp. 1272, 1937. http://dx.doi.org/10.1039/TF9373301272
  2. "Statistical theory of superlattices", Proceedings of the Royal Society of London. Series A - Mathematical and Physical Sciences, vol. 150, pp. 552-575, 1935. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1935.0122
  3. "Statistical theory of the adsorption of double molecules", Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, vol. 169, pp. 512-531, 1939. http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1939.0014
  4. T.S. Chang, "The number of configurations in an assembly and cooperative phenomena", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 35, pp. 265-292, 1939. http://dx.doi.org/10.1017/S030500410002096X
  5. A.R. Miller, "The number of configurations of a cooperative assembly", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 38, pp. 109-124, 1942. http://dx.doi.org/10.1017/S030500410002226X
  6. A.R. Miller, "The Vapour-Pressure Equations of Solutions and the Osmotic Pressure of Rubber", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 39, pp. 54-67, 1943. http://dx.doi.org/10.1017/S0305004100017680
  7. W.J.C. Orr, "On the calculation of certain higher-order Bethe approximations", Transactions of the Faraday Society, vol. 40, pp. 306, 1944. http://dx.doi.org/10.1039/TF9444000306
  8. W.J.C. Orr, "The free energies of solutions of single and multiple molecules", Transactions of the Faraday Society, vol. 40, pp. 320, 1944. http://dx.doi.org/10.1039/TF9444000320
  9. . C. N. Yang, . Y. Y. Li, and . , "GENERAL THEORY OF THE QUASI-GHEMICAL METHOD IN THE STATISTICAL THEORY OF SUPERLATTIGES", Acta Physica Sinica, vol. 7, pp. 59, 1947. http://dx.doi.org/10.7498/aps.7.59
  10. C.N. Yang, "A Generalization of the Quasi-Chemical Method in the Statistical Theory of Superlattices", The Journal of Chemical Physics, vol. 13, pp. 66-76, 1945. http://dx.doi.org/10.1063/1.1724001