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一些思考

给“生化环材”的学生上一点儿稍微近世一点的物理都是很难的。

“生环”不说了，“化材”作为理论底蕴不浅的学科也如此的原因就是，课程体系中的数理基础课太陈旧，长年得不到近代化。数理和电类专业本科知识体系的近代化是很自觉的，但化类专业缺少这种自觉性。

近世物理学在化学和材料学已有大量应用，例如近代的化学和凝聚态结构分析手段、液态或软凝聚态材料的理论化等，重大发展都是1970年之前，上世纪末就已经大量应用。但是2020年的化材学生，稍微学点儿基础一点儿物理就会产生数学语言问题。软凝聚态材料领域的同学（说的就是你——高分子，连名字都过时）尤甚，因为那些做室温超导研究的领域也算“凝聚态材料”，但它们的生源几乎全是物理系学生。

目前没有“面向生化环材专业的数学”、“数学化学方法”这种书。所有“数学物理方法”课本都是为了物理系学生而撰写的。化学和材料学的同学不会关心基本粒子和相对论（特别是软凝聚态材料领域），力学几乎全是牛顿力学，统计几乎都是经典统计。光是如此，他们所学的数学和物理都不足（课本还行，但上课经常砍章节，课上的要求也很低）。这里面有全社会的观念问题，即一般就认为化学不需要数学好物理好，怕数学或怕物理的才报化类专业，使得化类专业的生源客观上不足，就算大一数学和物理的要求已经降到十分幼稚的地步，都还有大量学生挂科。大学的数学系和物理系专门给全校其他专业上大学数学和大学物理的教研组已常年习惯此情况，当前砍内容和低要求的现状是多年以来形成的。

欧几里德空间的现代引入中的一个问题

\mathcal{E}是一个非空集合，里面的元素称为“点”。对于集合中的这些点，我们可以做《几何原本》说能做的所有事，从而得到一切《几何原本》能得到的结论。其中就包括允许我们谈及“由点a到点b的有向线段”，a,b\in\mathcal{E}。我们建立一个“从点a到点b的有向线段”到一个向量空间\mathcal{V}的映射\Phi:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}，且\Phi\left(x,x\right)\equiv\mathbf{0}\forall x\in\mathcal{E}，其中\mathbf{0}是\mathcal{V}的零向量。选定一个点o\in\mathcal{E}，又可记\Phi_o:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}，\Phi_o\left(x\right)\equiv\Phi\left(o,x\right)。在很多书中​(Berger 1987; Audin 2002)​，直接预先把\Phi_o规定为双射。但我在这里想先不作此规定。最多，由于我们希望\mathcal{E}中的每个原素都能在给定原点的前提下在\mathcal{V}中找到唯一对应（反之并不必亦然），从而规定\Phi_o为单射非满射。

我不确定离开某数集，光靠欧几里德几何的公设体系能否独立定义“线段的长度”、“两线段长度相等”、“一条线段的长度大于另一条线段的长度”。我似懂非懂地看了一下Wikipedia，兴许Tarski的公设体系实现了这件事。但不管如何，我们在“长度”问题上的重新定义，应该不会造成整个欧几里德几何的重新定义，因为“相等”、“大小”之类的逻辑，在数集里跟在欧几里德几何里是相同的。所以下一步我们定义，\mathcal{E}中有向线段（记为\overline{xy},x,y\in\mathcal{E}）的长度就是所对应的\mathcal{V}中向量的范：

    \[d:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R},\overline{ab}\equiv d\left(a,b\right)\equiv\left\|\Phi\left(a,b\right)\right\|\]

其中\left\|\mathbf{u}\right\|\equiv\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\mathbf{u}\in\mathcal{V}。

同样的道理，如果能认为欧几里德几何原本的“角度大小”以及其于这个概念的成立而证得的一切推论也是通过“相等”、“大小”等逻辑独立于数集而被规定的​*​，那么采用实数集来重新规定就不会改变原有逻辑基础，从而原有的几何推论也都成立（可用）。现在我们通过施瓦茨不等式来定义\mathcal{V}由三个不同的点所构成的角的度数。

在\mathcal{V}中，由内积运算的性质，有如下关系：

(1)   \begin{equation*}\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|+2\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\end{equation*}

由施瓦茨不等式

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\geq\left|\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\right|^2\\\Leftrightarrow&-1\leq\frac{\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)}{\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|}\leq1\end{align*}

由于\cos:\left[0,\pi\right]\rightarrow\left[-1,1\right]是双射，故可定义“两向量的夹角”：

    \[\theta:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\left[0,\pi\right],\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)\equiv\mathrm{arccos}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\left\|\mathbf{u}\right\|\left\|\mathbf{v}\right\|}\]

式(1)变为：

(2)   \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\\=&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\end{align*}

由内积定义可知\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=\theta\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V}。

在\mathcal{E}中，由余弦定理（《几何原本》命题12、13），

(3)   \begin{align*}&\overline{ox}^2+\overline{oy}^2=\overline{xy}^2+2\overline{ox}\times\overline{oy}\cos\angle xoy\nonumber\\\Leftrightarrow&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

其中\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}表示由点x、o、y构成的角。将式(2)代入式(3)得：

    \begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\\=&\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}

比较上式等号左右两边，可知以下两命题互为充要条件：

    \[\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)=\pm\Phi_x\left(y\right)\Leftrightarrow\cos\angle xoy=\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\]

我们不妨对映射\Phi增加规定：\Phi\left(o,y\right)-\Phi\left(o,x\right)=\Phi\left(x,y\right)=-\Phi\left(y,x\right),\forall o,x,y\in\mathcal{E}，则由上述等价关系我们同时获得了\mathcal{E}中的角\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}的大小与实数域\left[0,\pi\right]的映射：\measuredangle:\mathcal{E}^3\rightarrow\left[0,\pi\right],\measuredangle\left(xoy\right)\equiv\measuredangle xoy\equiv\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)。

至此，我做的事情是是：1）规定了\mathcal{E}中的有向线段与\mathcal{V}中的向量的映射（未规定是什么射）；2）利用\mathcal{V}的内积定义，规定了\mathcal{E}中线段的长度和角的大小与实数集的映射。在做这些规定的时候，我利用了已知的欧几里德几何推论（余弦定理）。这一规定性自然而然带来一些需要重新证明的命题。例如，原几何规定（Tarski）的“两线段相等”，则它们所对应的实数值相等；原几何定义的直角，在现有的规定里对应实数\pi/2等等。这里我未能完备地列出上述重新规定所引起的这类重新证明任务，但我相信这些命题是有限的，易证的。这为我们建立\mathcal{E}与\mathcal{V}的维数对应性打下了部分基础，即\mathcal{E}的“直角”与\mathcal{V}的“正交向量”对应上了。

尚缺少的概念对应是“过一点的直线”。也正是在这个问题里，我发现\Phi_o不得不如现有的书中那般进一步规定为双射。先看一个出发点比较好，但失败的例子——从\mathcal{E}的已知概念出发，通过已规定的（未必双射的）映射\Phi_o来找到\mathcal{V}中的对应。

由欧几里德几何易知，过点a、b的直线上的任一点c，a,b,c\in\mathcal{E},a\neq b，必满足以下四种情况之一：1）\measuredangle cab=0；2）\measuredangle cab=\pi；3）c=a；4）c=b。根据前文的规定，又有\overline{ac}=\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|、\overline{ab}=\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|。对于情况1）和2），由

    \[\cos\measuredangle cab =\frac{ \Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}=\pm 1\]

左右两边同除\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|有

    \[\frac{\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}=\pm\frac{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|}{\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}\equiv\alpha^\prime\]

其中情况1）取正号，情况2）取负号。另外，显然情况3）和4）\alpha^\prime等于0或无穷。我们可以重新整理四种情况，写成

    \begin{align*}&\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)=\alpha\left(\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)\right),\alpha\in\mathbb{R}\\\Leftarrow&\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right)\end{align*}

上式中，前者仅是后者的必要非充份条件。如果这一步是充要条件，从而得到最后的结论，那么我们无需规定\Phi_a是双射，就能把\mathcal{E}中过任意两点a,b的直线上的点的集合，映射为\mathcal{V}的子集\mathcal{L}_{ab}=\left\{\mathbf{c}|\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right),\alpha\in\mathbb{R}\}。事实上，易证这一子集是\mathcal{V}的子空间且维数是1。若有了此基础，就可进一步推演出\mathcal{E}的维数就是\mathcal{V}的维数，从头到尾无需说明\Phi_a是双射。另外，这也同时证明了另一个重要的结果，就是把\mathcal{E}中的直线与实数轴建立了对应，为建立笛卡尔坐标系奠定了基础。可惜，在上面我们只能得到必要非充份条件的关系，所以我们就无法拥有后面的这些优美叙述。

如果我们反过来，从\mathcal{V}出发去找\mathcal{E}中的直线，就免不了“给定任一\mathbb{u}\in\mathcal{V}，找出其在\mathcal{E}中对应的有向线段”的任务，这要求映射\Phi_a是可逆的，即为双射。虽然我看不到\Phi_a有什么理由不能是一个双射，但毕竟这是一项重大的“从\mathcal{V}到\mathcal{E}的反向规定”动作，这比前面的“长度”和“角度”的反向规定影响大多了，是全局性地规定了\mathcal{E}这整个空间。如此一来，\mathcal{E}不仅带着其原有的《几何原本》所有推论，又突然于一个向量空间等距同构。凭什么向量空间——一个意图完全与几何无关的数学概念——恰好重现了《几何原本》的欧几里德空间的一切性质呢？我找不到在这个层面上有什么万佛朝宗式的解释。如果没有这种解释，那么就只能认为，这一双射只是重新定义了一个空间\mathcal{E}，其几何性质只由定义它的那个内积空间\mathcal{V}来规定——这也是现代几何对“欧几里德空间”的定义，即完全抛弃了《几何原本》。既然如此，这一现代定义的“欧几里德空间”中，是否要用向量代数重新证明一切数学史上从《几何原本》证明过的几何定理？这个任务是一个庞大的任务，还是只需重现出欧几理德几何的有限几条公设即可？这个任务是否已经被完成了？尽管如此，我们难道真的不能relax掉“双射”这一规定性吗？

  1. ​*​
    例如，直角在《几何原本》里（定义10）就不是通过角度定义的。一个普通角的大小，又可以按照其正切的定义，从其所在的某直角三角形中对边长度与邻边长度之比来定义，从而回归到已解决了的线段长度大小的问题。

  1. Audin M (2002) Geometry. Springer
  2. Berger M (1987) Geometry I. Springer

以国为本还是以人为本？

我在考虑一门课的绪论的时候有一些心得。

大部分学科的绪论，都会介绍这个学科名称来历、历史等。从“做学问”的标准来看，绪论更重要的是论述：1）本学科的内容，以及为何包括这些内容，而不是更少或更多；2）本学科与其他当代学科之间的关系。

例如，在关于流变学的绪论里，由流变学的通常定义——“研究物质的形变与流动”，需要进一步说明所研突的物质主要是宏观物质，因此流变学一定是建立在描述宏观物质的物理之上的。这种物理恰好是有的，还不是一个而是两个：连续介质力学和统计力学。它们都是已经明知物质其实是由大量微观粒子构成的前提下，通过不同的抽象近似（前者是连续体的近似，后者是基于等概率分布、对称性原则等），然后用相应的数学语言去描述，以实现对宏观性质基本规律的推导。

然后我还可以由着我的性子继续讲下去，写一堆玄学。也大概是在这个节点上我开始恶心了。这些都是不仅需要已学懂流变学，还需要已学懂连续介质力学和统计力学之后，才有可能理解（或甚至都不能）的一些学科发展逻辑。我在后面会谈一下，为什么在第一秒钟我们会觉得这些内容挺好的原因。但其实这作为一门课的绪论，对读者（特别是初学的）没有任何用处。

我甚至不想把最开头部分的标题称过“绪论”。谁要在一开始就看一段玄学论述呢？我觉得更好的标题是“引入”，这在词义上更符合英语的“Introduction”。你在开头需要做的事情是引入，而不是抽象论述、高屋建瓴、统领全书。

“第一课要完成的任务”其实不存在什么异议，那就是：直接显示这门课后面会讲到的正式内容的必要性，设置好具备这种必要性的场景。之前关于“引入”还是“绪论”的争论，其实是完成这个任务的方式问题。开头的那段玄学，其实初衷也是为了完成这种目的，只不过是采用了一种“定义——定义的延伸——……”的严格形式（数学系的课也许更倾向于这种公理化语言的表述）。如果换成“引入”，那么一切就不是从“学科定义”出发了，而是从“必要性”出发。从学生的角度问就是：好端端地为什么非要往课程表里塞一门这个课？具体的问题就包括：

  • “物质的形变与流动”，以前学的知识不够吗？于是你就可以展示，学生以前习惯的基于刚体运动的中学物理的局限性，引出连续介质力学的必要性。
  • 大学本科也学过一些类似的知识，粘度、杨氏模量、伯努利方程、雷诺数、层流湍流等都学过了啊，还不够你“研究物质的形变与流动”吗？于是你就可以引入“复杂流体”概念，包括流体的粘弹性（记忆效应）和非线性，同时也说明流变学只研究低雷诺数问题等等。一般流变学课头几节都会逻辑的那些花里胡哨的“复杂流动现象”，什么挤出胀大、无管虹吸之类的，也都放在这里讲了。
  • 然后还可以假设学生再问“这些都是加了高分子的原因啊，我们在高分子物理里已经学过粘弹性、剪切变稀和剪切增稠了。高分子的粘流运动也解释过，行为可以用链锻运动和整链运动来解释。”因此，在此你可以介绍，当代流变学与复杂流体的统计力学理论（在这个领域复杂流体一般会换个更高大上的名字叫“软凝聚态”）的联系。但更重要的是展示：不用加高分子，也能构成复杂流体，例如悬浮液、乳液、泡沫等……别以为什么都是高分子特有的。

可见其实绪论该讲的都讲了，但以“引入”的方式，其实是以一种“交流”的、“设问”的方式来讲述，而不是以“定义——定义的延伸”这种公理化语言，似乎因为要“担负历史责任”，经得起后人考验，因此当下的这些听众的实际情况和理解力，在这种崇高性之下都不值一提了的调调。

但是，我在这里讲的“必要性”，都是完全从纯学术的角度，从人类知识大厦的构建角度谈的必要性。我不喜欢谈“学科的应用”，尤其是物理学。因为，我们物理学是从来不用吹嘘什么“应用广泛”、“对国计民生的重要意义”的。物理就是万物一理，它的应用是everywhere和anywhere。物理不存在“缺乏重要应用”的问题，只存在“该用的时候没人用、不懂用、甚至乱用”的问题。换句话说物理不存在“缺应用”的问题，只存在“没人懂”的问题。所以，你来学物理，你肩负的最重大使命是去搞懂！而不是去反省这些学了有什么意义，尤其是别在还没学懂之前就在那里评判“这门课应用广不广、市场大不大、前不前沿、热不热门”。正如有一个网上传得很广的课堂照片上那句话：任何一个世纪都是物理学的世纪。

很多教科书的“绪论”中都会希望吹一下的那些“本学科的应用”内容，要么吹一下在工业界有多重要，举一些也就在那本书出版的年代才成问题的过时工业难题；要么东拉西扯一些在生物医用领域的研究，其实也就火过那么几年，早过时了。我就不干这种事。需要讲的必要性，仅是就人类知识逻辑大厦之内添一砖加一瓦的这种必要性，老师与学生作为智慧上平等的学者，一起对本课程的添置作一番奥卡姆剃刀审判。任何世俗必要性，都不应在讨论之列，也不必担心任何一个人在学懂了这门课之后，凭他的世俗经验会用不上。

毋宁说 ，很多大学课程设置本身就经不起这种审判，这么一审判，这门课其实没必要上； 毋宁说 ，很多作者也是一知半解，没那个水平去做这种梳理。后面正式的章节都是东抄西抄的，绪论嘛也就只能罗列“重要应用”，说不出它本身到底是什么，回答不了为什么。

我国长期以来的主流语境其实是“为中华之崛起而读书”，于是也是都“为中华之崛起而写书、办教育”，所有学科知识的陈述，都带着浓浓的“建设祖国”的目的性和功利性。因此在教学上有一种灌输性的思想 。课堂上我讲什么，你就得学什么。我懂解释那我就解释一下，显得我教学有方；我若不懂解释那就不解释，照本宣科你也反正得记住，总之肯定是对的，因为没有时间了！正着急着把你培养完毕投放到建设四个现代化的各条战线上去呢！我作为教师没义务都懂解释，因为我是一个来传达命令/来落实国家政策的角色。现在国家在争分夺秒地搞建设，需要你知晓和服从这些知识，这是第一条的。至于我愿意或者能够就有些难以理解的问题作些解释，那真的是十分“用户友好”了。但你没资格去要求这种“用户友好”，你不是“消费者上帝”，而是必须响应国家号召的一分子。书也是以类似的态度写的，写出来感觉就不是放在自由市场上卖的东西，而是坐等全国各条战线的建设者饥渴阅读的宝物。

这就是为什么有些搞一辈子教学的老头儿教师总是给改革开放之后出生的大学生一种不爽的感觉，而这些老头儿也特别经不起challenge。因为在你challenge他的时候，他不懂，面子上不好过还是次要的。主要是他转念一想会觉得很不公平：为什么我必须懂？为什么你拥有一种与我平等的地位、站在我对面去challenge我？国家派我来教你知识，是一项崇高的使命。你是接受得接受，不接受也得接受。他觉得你这么一challenge，不是他本人被challenge了，而是某种特别神圣不可侵犯的东西被challenge了，不是学术探讨，而是意识形态战了！

计划经济时代，“各部门各条战线”都需要被支配，因此形成的是一种等级森严讲究服从的文化，否则计划经济的效率不会高。人本主义、人人平等这些都是计划经济的毒药。讲究这个，那计划经济就实行不了了。而计划经济正是我国前几十年自立更生、独立自主所依赖的制度。因此那个年代的全国人民都因为国家命运的关系自觉接受计划经济的文化。改革开放之后，渐渐地也就形成了这样的组合：凡是国家要上去，就要搞计划那一套，挺优越；凡是人民要幸福，鸡毛蒜皮的事，那才来点儿市场，没必要上纲上线，讲究一碗水端平。

虽然扯远了，但现在有趣的是，具体去看“大学课堂”这件事情，目前大家到底认为，它是属于“国家要上去”这个话语体系里的呢，还是属于“人民要幸福”这个话语体系里的呢？你把他纳入哪个话语体系去理解，决定了你会怎么去评论很多具体的事情。

如果以国为本和以人为本老是产生冲突，该不该引起思考呢？