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$\mathcal{E}$是一个非空集合，里面的元素称为“点”。对于集合中的这些点，我们可以做《几何原本》说能做的所有事，从而得到一切《几何原本》能得到的结论。其中就包括允许我们谈及“由点$a$到点$b$的有向线段”，$a,b\in\mathcal{E}$。我们建立一个“从点$a$到点$b$的有向线段”到一个向量空间$\mathcal{V}$的映射$\Phi:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}$，且$\Phi\left(x,x\right)\equiv\mathbf{0}\forall x\in\mathcal{E}$，其中$\mathbf{0}$是$\mathcal{V}$的零向量。选定一个点$o\in\mathcal{E}$，又可记$\Phi_o:\mathcal{E}\rightarrow\mathcal{V}$，$\Phi_o\left(x\right)\equiv\Phi\left(o,x\right)$。在很多书中(Berger 1987; Audin 2002)，直接预先把$\Phi_o$规定为双射。但我在这里想先不作此规定。最多，由于我们希望$\mathcal{E}$中的每个原素都能在给定原点的前提下在$\mathcal{V}$中找到唯一对应（反之并不必亦然），从而规定$\Phi_o$为单射非满射。
我不确定离开某数集，光靠欧几里德几何的公设体系能否独立定义“线段的长度”、“两线段长度相等”、“一条线段的长度大于另一条线段的长度”。我似懂非懂地看了一下Wikipedia，兴许Tarski的公设体系实现了这件事。但不管如何，我们在“长度”问题上的重新定义，应该不会造成整个欧几里德几何的重新定义，因为“相等”、“大小”之类的逻辑，在数集里跟在欧几里德几何里是相同的。所以下一步我们定义，$\mathcal{E}$中有向线段（记为$\overline{xy},x,y\in\mathcal{E}$）的长度就是所对应的$\mathcal{V}$中向量的范：
$$d:\mathcal{E}\times\mathcal{E}\rightarrow\mathbb{R},\overline{ab}\equiv d\left(a,b\right)\equiv\left\|\Phi\left(a,b\right)\right\|$$
其中$\left\|\mathbf{u}\right\|\equiv\sqrt{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}},\mathbf{u}\in\mathcal{V}$。
同样的道理，如果能认为欧几里德几何原本的“角度大小”以及其于这个概念的成立而证得的一切推论也是通过“相等”、“大小”等逻辑独立于数集而被规定的*，那么采用实数集来重新规定就不会改变原有逻辑基础，从而原有的几何推论也都成立（可用）。现在我们通过施瓦茨不等式来定义$\mathcal{V}$由三个不同的点所构成的角的度数。
在$\mathcal{V}$中，由内积运算的性质，有如下关系：
\begin{equation}\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|+2\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\label{eq1}\end{equation}
由施瓦茨不等式
\begin{align*}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\geq\left|\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)\right|^2\\
\Leftrightarrow&-1\leq\frac{\Phi_o\left(x\right)\cdot\Phi_o\left(y\right)}{\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|}\leq1\end{align*}
由于$\cos:\left[0,\pi\right]\rightarrow\left[-1,1\right]$是双射，故可定义“两向量的夹角”：
$$\theta:\mathcal{V}\times\mathcal{V}\rightarrow\left[0,\pi\right],\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)\equiv\mathrm{arccos}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\left\|\mathbf{u}\right\|\left\|\mathbf{v}\right\|}$$
式(\ref{eq1})变为：
\begin{align}&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2\\
=&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\label{eq1a}\end{align}
由内积定义可知$\theta\left(\mathbf{u},\mathbf{v}\right)=\theta\left(\mathbf{v},\mathbf{u}\right)\forall\mathbf{u},\mathbf{v}\in\mathcal{V}$。
在$\mathcal{E}$中，由余弦定理（《几何原本》命题12、13），
\begin{align}
&\overline{ox}^2+\overline{oy}^2=\overline{xy}^2+2\overline{ox}\times\overline{oy}\cos\angle xoy\nonumber\\
\Leftrightarrow&\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|^2+\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|^2=\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\label{eq2}\end{align}
其中$\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}$表示由点$x$、$o$、$y$构成的角。将式(\ref{eq1a})代入式(\ref{eq2})得：
\begin{align*}
&\left\|\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)\right\|^2+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\\
=&\left\|\Phi_x\left(y\right)\right\|+2\left\|\Phi_o\left(x\right)\right\|\left\|\Phi_o\left(y\right)\right\|\cos\angle xoy\end{align*}
比较上式等号左右两边，可知以下两命题互为充要条件：
\[\Phi_o\left(x\right)-\Phi_o\left(y\right)=\pm\Phi_x\left(y\right)\Leftrightarrow\cos\angle xoy=\cos\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)\]
我们不妨对映射$\Phi$增加规定：$\Phi\left(o,y\right)-\Phi\left(o,x\right)=\Phi\left(x,y\right)=-\Phi\left(y,x\right),\forall o,x,y\in\mathcal{E}$，则由上述等价关系我们同时获得了$\mathcal{E}$中的角$\angle xoy,x,o,y\in\mathcal{E}$的大小与实数域$\left[0,\pi\right]$的映射：$\measuredangle:\mathcal{E}^3\rightarrow\left[0,\pi\right],\measuredangle\left(xoy\right)\equiv\measuredangle xoy\equiv\theta\left(\Phi_o\left(x\right),\Phi_o\left(y\right)\right)$。
至此，我做的事情是是：1）规定了$\mathcal{E}$中的有向线段与$\mathcal{V}$中的向量的映射（未规定是什么射）；2）利用$\mathcal{V}$的内积定义，规定了$\mathcal{E}$中线段的长度和角的大小与实数集的映射。在做这些规定的时候，我利用了已知的欧几里德几何推论（余弦定理）。这一规定性自然而然带来一些需要重新证明的命题。例如，原几何规定（Tarski）的“两线段相等”，则它们所对应的实数值相等；原几何定义的直角，在现有的规定里对应实数$\pi/2$等等。这里我未能完备地列出上述重新规定所引起的这类重新证明任务，但我相信这些命题是有限的，易证的。这为我们建立$\mathcal{E}$与$\mathcal{V}$的维数对应性打下了部分基础，即$\mathcal{E}$的“直角”与$\mathcal{V}$的“正交向量”对应上了。
尚缺少的概念对应是“过一点的直线”。也正是在这个问题里，我发现$\Phi_o$不得不如现有的书中那般进一步规定为双射。先看一个出发点比较好，但失败的例子——从$\mathcal{E}$的已知概念出发，通过已规定的（未必双射的）映射$\Phi_o$来找到$\mathcal{V}$中的对应。
由欧几里德几何易知，过点$a$、$b$的直线上的任一点$c$，$a,b,c\in\mathcal{E},a\neq b$，必满足以下四种情况之一：1）$\measuredangle cab=0$；2）$\measuredangle cab=\pi$；3）$c=a$；4）$c=b$。根据前文的规定，又有$\overline{ac}=\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|$、$\overline{ab}=\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|$。对于情况1）和2），由
$$\cos\measuredangle cab =\frac{ \Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}=\pm 1$$
左右两边同除$\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|$有
$$\frac{\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}{\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)}=\pm\frac{\left\|\Phi_a\left(c\right)\right\|}{\left\|\Phi_a\left(b\right)\right\|}\equiv\alpha^\prime$$
其中情况1）取正号，情况2）取负号。另外，显然情况3）和4）$\alpha^\prime$等于0或无穷。我们可以重新整理四种情况，写成\begin{align*}&\Phi_a\left(c\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)=\alpha\left(\Phi_a\left(b\right)\cdot\Phi_a\left(b\right)\right),\alpha\in\mathbb{R}\\\Leftarrow&\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right)\end{align*}
上式中，前者仅是后者的必要非充份条件。如果这一步是充要条件，从而得到最后的结论，那么我们无需规定$\Phi_a$是双射，就能把$\mathcal{E}$中过任意两点$a,b$的直线上的点的集合，映射为$\mathcal{V}$的子集$\mathcal{L}_{ab}=\left\{\mathbf{c}|\Phi_a\left(c\right)=\alpha\Phi_a\left(b\right),\alpha\in\mathbb{R}\}$。事实上，易证这一子集是$\mathcal{V}$的子空间且维数是1。若有了此基础，就可进一步推演出$\mathcal{E}$的维数就是$\mathcal{V}$的维数，从头到尾无需说明$\Phi_a$是双射。另外，这也同时证明了另一个重要的结果，就是把$\mathcal{E}$中的直线与实数轴建立了对应，为建立笛卡尔坐标系奠定了基础。可惜，在上面我们只能得到必要非充份条件的关系，所以我们就无法拥有后面的这些优美叙述。
如果我们反过来，从$\mathcal{V}$出发去找$\mathcal{E}$中的直线，就免不了“给定任一$\mathbb{u}\in\mathcal{V}$，找出其在$\mathcal{E}$中对应的有向线段”的任务，这要求映射$\Phi_a$是可逆的，即为双射。虽然我看不到$\Phi_a$有什么理由不能是一个双射，但毕竟这是一项重大的“从$\mathcal{V}$到$\mathcal{E}$的反向规定”动作，这比前面的“长度”和“角度”的反向规定影响大多了，是全局性地规定了$\mathcal{E}$这整个空间。如此一来，$\mathcal{E}$不仅带着其原有的《几何原本》所有推论，又突然于一个向量空间等距同构。凭什么向量空间——一个意图完全与几何无关的数学概念——恰好重现了《几何原本》的欧几里德空间的一切性质呢？我找不到在这个层面上有什么万佛朝宗式的解释。如果没有这种解释，那么就只能认为，这一双射只是重新定义了一个空间$\mathcal{E}$，其几何性质只由定义它的那个内积空间$\mathcal{V}$来规定——这也是现代几何对“欧几里德空间”的定义，即完全抛弃了《几何原本》。既然如此，这一现代定义的“欧几里德空间”中，是否要用向量代数重新证明一切数学史上从《几何原本》证明过的几何定理？这个任务是一个庞大的任务，还是只需重现出欧几理德几何的有限几条公设即可？这个任务是否已经被完成了？尽管如此，我们难道真的不能relax掉“双射”这一规定性吗？
- *例如，直角在《几何原本》里（定义10）就不是通过角度定义的。一个普通角的大小，又可以按照其正切的定义，从其所在的某直角三角形中对边长度与邻边长度之比来定义，从而回归到已解决了的线段长度大小的问题。
- Audin M (2002) Geometry. Springer
- Berger M (1987) Geometry I. Springer