这篇文章旨在总结“什么是本构关系”¹这个问题的回答框架和文献。起初是我要写自己的观点，并觉得这些观点都十分正确，而且是其他书不曾有的。但是想到，别人可能不是天然信服我的，却可能看过其他书的说法，会对我提出反驳。所以我也先看看其他书怎么说，好有些准备。结果发现，其他书的说法跟我说的没什么不同。那感觉就好像：“原来你们之中也有真懂的啊！我还以为你们这些写书的全是不懂装懂的呢！”²。所以整件事就变得和谐多了。我只需要列一下，回答这个问题要讲的几条，然后在每一条下总结说过类似的话的书。

还有一点要提前说明一下。如果一个人正常去了解连续介质力学的理论基础，那么他会自然准确明白什么是本构关系。本文章关心的是，如何在假定读者还不知道张量时回答什么是本构关系，或哪怕是已经了解了本构关系在连续介质力学上的准确意义之后，如何一般性地说出它的角色或功能。所以这不是一个关于连续介质力学讲义的讨论。

1. “本构关系”是什么与什么的关系？

首先要说的是这件事。

很多简要的资料都会说“本构关系就是材料的应力-应变关系”。这当然是我们首先要摒弃的说法。其他需要先了解连续介质力学之后才能理解的吐槽我就不在这里说了，懂的都懂，不懂的刷走。我在这里特别想说的是这种说法在今天已然普及了的流变学实践中有很不好的误导作用。今天许多人都会买一台旋转流变仪来“做流变学研究”。旋转流变仪就是一个傻瓜式地输出标量“应力”与标量“应变”的仪器。不客气地估计一下，商用旋转流变仪用户中掌握连续介质力学的可能不到1%。你说一句“本构关系就是应力应变关系”而不加其他说明，99%的流变学研究者都会认为旋转流变仪上测得的应变对应力作图就是一个本构关系。

这时如果他们再翻一些流变学教材，发现应力是张量、应变是张量之类的内容，就会觉得多余。数学整那么复杂干什么？“流变学难”、“数学很多”之类的争议有相当一部分是浮在这种认识层面上的，严重干扰了真正讨论流变学理论的严格简化（如测粘流理论）的学术声音。

所以第一个兴趣点就是，那些近乎简单说“本构关系就是应力应变关系”的教科书中，加上了哪些看似无用但却防止了上述打脸的限定性修饰。

先看J. Ferry的经典教材。他说本构关系是“the relations between stress, strain, and their time dependences”。这比直接说是应力应变关系多了个时间依赖性。这并不是为更准确地描述本构关系的意义本身作出的限定，而是为了强调材料粘弹性的可能性。所以归根结底，在“何谓本构关系”这件事上， Ferry相当于简单说了句“就是应力应变关系”。

Ferry的书是流传非常广的、口碑经久不衰的，经典中的经典。但是他关于本构关系的简单描述，虽然必不代表他本人理解就真这么简单，却被许多也许只看一本书学流变学，还很认真学的学生记为教条。例如，M. Rao写的书，就原样照搬Ferry的说法，并标注了对Ferry的书的引用。

如果非要保持“应力应变关系”这种叙述框架来讲“何谓本构关系”那至少应该加什么样的限定性说明呢？两方面。一是，所谓应力和应变都是张量，它们每个有9个量。但这件事要以不出现“张量”这个概念的方式说出来，让人一下子就明白为什么它们是这种量，至少反正不是标量（很难）；二是，应力和应变都是场，它们的“取值”既依赖空间位置又依赖时间。这倒不是什么很难理解的点。如果这两个都明确了，那就可以成功的让人对“旋转流变仪软件所输出给你的标量值应力和应变到底是啥”产生质疑；这个质疑才是正式学习流变学的开端——如果你恰巧就是那种没学流变学就照着文献或师兄师姐的“指导”做了大量旋转流变仪学测试的学生的话。

1.1 应力、应变都是场函数

我们先看暗示了第二个点的说法。

有本书Yamaguchi (2008)说本构关系是“the relationship between the internal stress and the applied strain”，这个“internal”就很鸡贼。不就是想暗戳戳地强调一下“它们都是场哦”吗？

还有一本书Mewis & Wagner (2012)说，本构关系是“intrinsic relation between the stresses and kinematics”。在本关注焦点下，这句话无非给你来了个“kinematics”这词，好像说得悬一点儿，能让你不敢确定作者是不是肤浅的。

类似上述这般的“免责式”的修饰限定，对初学者更准确地理解一点用处都没有；在初学者那里上述这种做法相当于简单说本构关系就是应力应变关系。

1.2 应力、应变是张量（但不明说）

在一句话中不明说张量又强调出这一意义的难度确实有点儿大。我反正是做不到的。我翻的书，有很多也做不到。所以实际上很多书干脆在句子中出现“张量”这词了。在这些书当中，有些是在介绍完应力张量之前就讲本构关系是什么的话，所以“张量”一词的出现是提前的。而且一些就是到了讲本构方程的部分才说什么是本构关系，但这种情况下本文关注的问题就不存在了，因为都到了讲本构方程的章节了，那应力张量、运动学、守恒律、运动方程等知识应该都讲过了。

一本流变学的巨经典的教材Barnes, Hutton and Walters (1989)说，本构关系联系的是“suitably defined stress and deformation variables”。这里的suitably defined，能不能被诟病为“对初学者完全无用的免责式修饰”呢？我觉得不能这么说。因为它准确提出了一个有教学效果的疑问：怎样define才叫suitably define？带着这个疑问去学习应力张量和应变张量，能自然地理解为啥它们是张量，而不是天掉下来我就是要用张量去描述它们。这是我找到的，唯一一个，想强调应力和应变是张量，却不用出现张量一词的成功叙述！它也预先回答了“为啥非要是张量呢”——因为这样define才suitable！

另一个也没出现张量一词，但不太成功的叙述，来自一个也很重量级的作者Tschoegl (1989)。他说本构关系是“relation between a general deformation and a general set of forces”。这就真地可以被诟病为“对初学者完全无用的免责式修饰”了。但是这本书在后面仍然很完整地给读者呈现了“本构关系”的准确意义；它只是没在“一句话”问题上精益求精而已。这本书在展示“本构关系中的应力和应变为何非得是张量”这一任务上做了一个经典的举例说明。这种举例说明方式被多个教科书采用，比如Riande et al. (2000)。

其他书中的叙述就是都出现了tensor一词的。比如另一个众人口中的巨型经典Bird, Armstrong & Hassager (1987)说本构关系是“expression of the stress tensor in terms of some kinematic tensors”。

再另一个巨型经典Truesdell & Noll (2004)说本构方程“relate the stress tensor and the heat-flux vector to the motion”。这里作者不限于力学本构方程，且“应变”这件事直接用一个“the motion”指代了，有够general。这里跟前文指出发的Malkin只明确应力作为场是“at a point”，却不明说运动学上的at a point是异曲同工之妙，但这里我仍先不详细解释这件事。

1.3 本构关系是材料对外场的响应

本构关系的概念还有一个一般性的思想就是，它强调一个材料作为体系，它对环境变化的响应，类似于“信号与系统”的关系。

作出这种强调的叙述也很多。Findley, Lai & Onaran (1976)说本构关系是“reaction to the external excitations”。Truesdell (1968)说本构关系“specify the nature of their response to their surroundings”。

这种刺激-响应的结构，比仅说是“什么与什么的关系”更贴近“本构关系”的原始思想。

2. 本构关系的特殊与普适

2.1 本构关系是描述材料的特殊性的

这一点很多书都能顺利地地传达。

但很多是是这么说的：守恒方程列完了，方程不封闭，所以需要本构关系。

然后翻遍全书好像也就只这么说了，没有再从物理上说这件事。好像说本构关系的意义就只是数学上意义；一切是“为了题目能做得出来”，得分就行，问那么多干什么，一种做题家思维。

事实上，守恒律和运动方程也是人对自然的假说性公设，是可错的。既然现在我们默认它正确了，那只能说列完了之后方程都不封闭是不是相当于正面地表达了这套物理理论的一种主观的观点？直说了吧：光知道守恒律预测不了运动，这是这套物理理论本身就认为的。数学上方程封闭不了，只能说你用对了数学去描述你的物理观点，数学上的效果与你物理观点相符了而已。而不是说我非要在数学上这么列式子，然后发现说哎哟不封闭，之前还没想到，所以只好认为这就是封闭不了的。差劲的教科书，就是在这种层面上讲话不小心。

在这一点上比较清晰的表述有Tschoegl (1989)。他说本构关系是“independent of the size or shape (i.e. geometry) of the body”/“depend only on its material nature”。

更露骨的表述要数Truesdell (1980)：The essence of a constitutive relation is that it defines a material. Whatever else happens to a body of that material, it cannot get away from that relation, which cleaves to it like a Doppelganger. That is a difference between a constitutive relation, which is a theoretical concept, and an empirical formula developed by measurement.

2.2 本构关系的一般性是指它描述的是材料在任意流动的响应

这是我觉得值得更多地强调的一点。我们希望拥有的是描述材料在任意流场中的应力状态的一条关系。这是更原始的动机。前面说到应力和应变之所以要用张量定义是为了更suitable。但为啥非要这么suitable？因为想实现现在说的这个任意性。

关于这一点，Larson、Dealy这两个人的一些书都有所强调。比如Larson那本讲本构关系的书说本构关系要“allow one to calculate the stresses in a liquid, provided the flow history”。在Dealy与Larson合著的书，以及前者与另一人合著的书，都说本构关系要给出“rheological response of a viscoelastic material to any type of deformation”/“nonlinear viscoelastic stresses in arbitrary flows/any type of deformations”……等等。“任意”是关键。

3. 确定材料的本构关系是流变学的中心任务

本来就很怕数学的人，很不喜欢听到你把他最怕的东西作为他躲不开的学问的重点。所以这个观点是天然惹人质疑的。之所以说确定材料的本构关系是流变学研究的中心任务，是有其内在逻辑的，但在个文章里我不展开了，默认它有内在理由。我只列出“人家也有这么说”，以回馈那些，明明已经承认有理，也仍需要权威背书才有安全感的学生。

许元泽 (1988)说“建立本构方程是流变学的中心任务”。王玉忠 & 郑长义 (1993)大量参考了前者，也出现了一模一样的话。

Malkin (1994)说确定本构关系“occupies the central position in modern rheology”

Gupta (2000)说是“one of the major goals”。

你问，那微观结构的联系不管了吗？

Malkin & Isayev (2006)中说确定本构关系是“the first main goal”，至于认识微观结构联系属于“the second goal”。

4. 赞赏几个作者

我很喜欢的一个作者Alexander Ya. Malkin，在1994年的教材说，本构关系描述“stresses acting at a point and deformations occurring as a result of their action”。这个表述应该刻在石碑上。

首先，关于“应力是场”这件事，他很明确地说出了实质意义，即“acting at a point”。根据这句话的措辞，你会正确无误的浮现出一种“本构关系就是某点上的关系”的印象。这种印象能顺利让你产生疑问：才告诉我一点上的关系，这有啥用？——这能使你正确地求索到，原来你需要求解完运动方程之后，才算得到你会认为有用的结论。

Malkin确实在书后恰当的位置明确了这一点：The transition from rheological equation of state (or consitutive equation) of a liquid to a hydrodynamic problem is equivalent to the transition from discussing the situation “at a point” to considering flow of a liquid in a volume.

他继续列出，要想达到这一目的：It requires one to combine the following elements:

• rheological equation of state
• equilibrium (balance) equations; in the isothermal case, it is an equation of force balance only
• boundary conditions

这段介绍又作出了很好的逻辑暗示：如果两个流体的流动行为不同，那么有三种情况：1. 它们的本构关系的形式不同，可称为不同类别的流体；2. 具有相同形式的本构关系，但系数不同，可称为同类型的不同流体样品; 3. 具有相同的本构关系，但流动的边界条件不同。

为啥说这是逻辑暗示呢？因为既然守恒律是所有流体都要满足的，那上述列出的三条，只有第一条和第三条可以不同。第一条作为方程，它当然可以有形式的不同和系数的不同两个层次。加起来你就能想出流体行为区别的三种层次。

“stresses acting at a point and deformations occurring as a result of their action”这个表述还有一个很妙的地方：关于运动学这一头，作者没有也用“at a point”这种描述来强调它是场函数，而仅仅说是由一点的应力状态引起的。也就是不排除，一点的应力，未必只引起一点的流场后果！这个留白太睿智了。

在这本书中，作者还用实例说明：results of different experiments can be considered as consequences of the same rheological equation of state if formulated in a generalized (tensor) form，强调了应力和应变得是张量形式。他比Tschoegl (1989)只用一个generalized好，在于进一步点出是tensor。

作者还在另一处说，本构关系“determins all mechanical phenomena which can be expected in the observation of …”，把本构关系的一般性意义也说到了。

再加上前面说过的，他在书中又说了确定本构关系是流变学研究的中心任务，于是Malkin在这本书中，非常全面地把说到“何谓本构方程”时该讲到的事情全讲完了。

另一本我要赞赏的书是许元泽 (1988)。许老师是鼓励我选择流变学作为一生学问的师长。但我不基于私人的尊敬去推崇书。从本文之前的讨论可见我对书的要求是不低的。我博士导师的书《高分子溶液热力学》和许老师的书《高分子结构流变学》恰好是非常好的书，这是我的幸运，使我不用顶着不敬的风险去批判。

许老师的书主要解决“second goal”。另一本中文的书，也是我一向推荐的首选是王玉忠 & 郑长义 (1994)，可解决“first goal”。它虽然大量参考了许老师的书，但也大量参考了许多当时国内能够获取的国外经典资料。我亲自验证过，这本书的内容是真正参考过它声称引用了的资料的；这些资料本身也确实都是经典。而且书的叙述质量证明作者看懂了所有的这些资料，并进行了正确的凝炼。有很多叙述是很精彩的，我却难以找到其他出处，不得不怀疑来自该书作者。我在个人学习的生涯中，每加深了一件事情的理解后，回过头来看这本书相关部分的讲述掉不掉价，都发现它不仅经受了这种考验还给我一个更简明的文字表述。

关于本构方程问题，这本书虽然是从数学上方程的不封闭性引入的（在讲运动方程的时候），但到了正式介绍本构关系的时候，它接过这一话题，用了一段我觉得质量不低的讨论去识别为封闭而必须的本构关系的物理角色，从而得出“建立本构方程是流变学的中心任务”。

另外，江体乾先生也是一位值得信赖的流变学作者，只是在本文的话题下他的书也不成为例子，所以只在这里提一下。

很多本文没有提到的众人口中的流变学经典，部分属于以下两种情况：

1. 我认为是很好的书，但关于本构关系这个概念，没有正面阐述，属于说着说着就渐渐用这词了；
2. 我认为是很烂的书，不想得罪人就不拿出来讲了。

• Barnes, H., Hutton, J. & Walters, K. (1989), An Introduction to Rheology, Elsevier
• Bird, R., Armstrong, R. & Hassager, O. (1989), Dynamics of Polymeric Liquids, 2nd ed., vol. 1, John Wiley & sons
• Ferry, J. (1980), Viscoelastic Properties of Polymers, 3rd, ed., John Wiley & Sons
• Findley, W., Lai, J. & Onaran, K. (1976), Creep and Relaxation of Nonlinear Viscoelastic Materials, North-Holland Publishing Company
• Gupta, R. (2000), Polymer and Composite Rheology, 2nd ed., Marcel Dekker
• Malkin, A. (1994), Rheology Fundamentals, ChemTec
• Malkin, A. & Isayev, A. (2006), Rheology: Concept, Methods, & Applications, ChemTec
• Mewis, J. & Wagner, N. (2012), Colloidal Suspension Rheology, Cambridge University Press
• Rao, M. (2014), Rheology of Fluid, Semisolid, and Solid Foods, 3rd ed., Springer
• Riande, E. et al. (2000), Polymer Viscoelasticity, Marcel Dekker
• Truesdell, C. (1980), Sketch for a History of Constitutive Relations, In: G. Astarita, G. Marrucci & L. Nicolais eds., Rheology, vol.1, Plenum Press
• Truesdell, C. & Noll, W. (2004), The Non-Linear Field Theories of Mechanics.
• Tschoegl, N. (1989), The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior: An Introduction, Springer
• 王玉忠 & 郑长义 (1993), 高聚物流变学导论, 四川大学出版社
• 许元泽 (1988), 高分子结构流变学, 四川教育出版社
• Yamaguchi, H. (2008), Engineering Fluid Mechanics, Springer