聚合物吸附在胶体粒子表面……

Colloid dimensions

Colloid dimensions

悬浮在水中的胶体粒子的作用势Utot=UvdW+Ud+Usteric。其中，van der Waals势能UvdW写成：

U_\textup{vdW}\left(h\right)=-\frac{A}{12}\left[\frac{1}{x\left(x+2 \right )}+\frac{1}{\left(x+1 \right )^2}+2\ln{\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right )^2}}\right]

其中x=h/2a。

双电层势：

U_\textup{d}\left(h\right)=2\pi\epsilon a\psi_{\delta}^{2}\exp\left({-\kappa h}\right)

吸附聚合物的位阻势：

U_\textup{steric}\left(h\right)=\frac{4 \pi k_\textup{B} T c_\textup{abs}^2}{3V_1 \rho_2^2}\left(\frac{1}{2}-\chi_1\right)\left(h-\frac{\delta}{2}\right)^2\left(3a+2h+\frac{\delta}{2}\right)

其中c_\textup{abs}[latex]是聚合物的吸附量，跟聚合物的投料浓度有关。这是体系的唯一可调参数，即[latex]U_\textup{tot}=U_\textup{tot}\left(h;c_\textup{abs}\right)。

根据Fuch的定义，影响胶体聚集速率的stability ratio：

W\left(c_\textup{abs}\right)=2a\int_{0}^{\infty}\frac{\exp\left[\frac{U_\textup{tot}\left(h;c_\textup{abs}\right)}{k_\textup{B}T}\right]}{\left(h+2a\right)^2}dh

现在，我需要学习的是如何计算\delta\left(c_\textup{abs}\right)。下一步则是计算W\left(c_\textup{abs}\right)。

一些数学准备

求定积分I=\int_0^{\infty}\exp\left[f\left(x\right)\right]dx，用分部积分法：

I=x\exp\left[f\left(x\right)\right]|_0^{\infty}-\int_0^{\infty}x\exp\left[f\left(x\right)\right]f'\left(x\right)dx

上式的第一项就很难。